水晶の等価回路：Lm、Cm、Rmよりなる直列共振器と直列に容量：C1を入れると共振周波数が変化します。各記号の意味などは前回のブログ（←リンク）を参照して下さい。
fo=1/(2*π*√(Lm*Cm))が、
CmがC'=Cm*C1/(Cm+C1)になることから、
fo'=1/(2*π*√(Lm*C'))と変化します。
C1は既知であり、foもfo’も実測で求まるから、Cmが計算できるのです。 Cmの値を算出できたら、さらに直列共振周波数：foから計算することでLmを求めることができます。 なお、実際には電極間容量及び、ホルダ容量も影響しますのでそれらの合計容量である：Chも実測によって求めておきます。
C1が直列になった時の発振周波数をf1とし、C1をショートした時の発振周波数をfoとすれば、Cmは以下の計算式で求めることが出来ます。
Cm=(2*(C1+Ch))*(f1-fo))/fo・・・・・(1)
なお、コンデンサ：C1、Ch、Cmの単位はファラド、周波数：fo、f1の単位はHzです。
また、Lmは、Cmとfoから計算できます。
Lm=1/((2*π*fo)^2*Cm)・・・・・・・(2)
Lmの単位はヘンリです。Cmはファラド、foはHzの単位で計算します。
必要な測定器は周波数カウンタと数pFが精度良く測定できる容量計（Cメータあるいは、LCRメータなど）です。 周波数カウンタも測定値の安定さ・・・すなわち、基準がふらつかなければ十分なので絶対精度はそれほど必要としません。 少しウオームアップしてから使用すれば十分でしょう。 むしろ、1Hzの桁まで読み取れる測定分解能が必須です。 一般的な周波数カウンタであれば殆どのものが条件を満たすでしょう。 従って、ごく普通の周波数カウンタと小容量が測れるCメータがあれば水晶定数を求めることができます。
発振部はオリジナルのG3UURのものと同じです。 続くバッファ・アンプは単なるエミッタフォロワよりも、図の回路の方が良いです。 少々感度の悪い周波数カウンタでも十分な信号を与えることが出来、測定が安定します。 発振用トランジスタ：Q1には2SC2668Yを使いましたが、これは2SC1923Yが同等品です。 2SC945や2SC1815も使用可能です。hFEランクは何でも大丈夫です。 バッファ・アンプのトランジスタ：Q2は2SK544Eを使っています。これは、2SK241Yでも良く2SK439E（ピン配置に注意）でも大丈夫です。 9VのZennerダイオードで電源を安定化していますが、大元の電源に安定化電源を使用すれば省略可能です。 回路図のスイッチ：SW1の部分は、実際にはスイッチではなくジャンパ・ピンの抜き差しで代用します。その方が無用のストレー容量が増えず好ましいからです。（次項以降の写真参照）
この例では、C1=22pFを使っています。 しかし、Cmの計算式でC1=22pFとすれば、誤差が大きくて旨くありません。
かならず、C1を測定回路に実装した状態で実測しておきます。 数回計測して、平均値を用いています。この例では、C1=25.75pFでした。
もちろん、コンデンサの誤差やブレッドボードの分布容量が効いてくるので、22pFのコンデンサを使ったからと言って同じ値にはならないので、各自が実測しなくてはなりません。 ひいてはCmやLmの精度にも多大な影響があるので入念な測定が求められます。
ここでは、LCRメータ：DE-5000（←参考リンク）と専用の「SMDパーツ用プローブ」を組み合わせて使い、ショート・オープン校正を行なってから測定しています。LCRメータの測定周波数は100kHzを選ぶと分解能が高くなります。
最初はC1を短絡（ショート）した状態で発振させます。 そのときの周波数をfoとして記録します。
ブレッドボードに作った測定回路は不安定ではないかと懸念するかもしれません。 もちろんこれから長く使おうと思うならプリント基板にハンダ付けで作ることをお奨めします。
その際は、測定するクリスタルを挿入するソケットにはスムースで接触の良い物を使うべきです。 普通のICソケットでは、たくさんの抜き差しには耐えられずヘタってしまうでしょう。 その点、ブレッドボードは抜き差しが容易であり、接触もまずまず安定しているので良いと思います。 実際に作ってみると、発振周波数の不安定も見られないので、心配は要らないと思います。測定再現性もまずまずでした。
なお、このブレッドボードは底面にプリント基板を使ったGND板が貼付けてあります。 GND板は回路のGNDラインと結んであります。このあたりの配慮が安定測定のためのノウハウの一つです。
クリスタルにC1が直列に入った時の周波数を測定します。
C1を短絡（ショート）していたピンを抜き去れば良いです。 C1が直列に入ると、発振周波数の上昇が見られるでしょう。
なお、「発振周波数が安定しない」、「予定の周波数から大幅に外れている」、「周波数のふらつきが大きい」などは、測定している水晶発振子の不良が考えられます。 実際に、秋葉原で入手した水晶発振子では発振しない物や、発振はしても数値がばらついて不安定な物が見られました。 そのような水晶発振子は水晶発振器に使えないのはもちろんですが、よりシビアな性能が要求されるフィルタ用にはまったく使い物になりません。×印でも付けて除外しておきましょう。
比較の基準には、ネットワーク・アナライザ(VNA)を使って測定した水晶定数を使用することにします。
図は、12.8MHz・HC-49/U水晶発振子についてネットワーク・アナライザを使って-3dB法でLm、Cm、Rmを求めた結果です。 以下、いずれの測定でもネットワーク・アナライザを使った測定結果を取りあえずの基準としています。
いずれも平均値ですが、Lm=7.965(mH)、Cm=19.428(fF)です。
上記と同じ水晶発振子を、発振周波数変化法で測定してみました。 直列容量C1は25.75pFで計算しています。
実測から計算された平均値は：Lm=8.0709(mH)、Cm=19.174(fF)です。
上記のVNAによる測定値を基準とすれば、周波数変化法で求めたLmは+1.33%であり、Cmは-1.31%の違いとなりました。 それぞれの標準偏差を比較しても大きな違いは無いことがわかります。
この水晶発振子は、aitendoで10個150円で売られているものです。形状はHC-49/USです。 期間を置いて20個ずつ過去２回購入しています。 まずは、最近購入した20個についてネットワーク・アナライザで測定した例を示してきます。
いずれも平均値ですが、Lm=39.9492(mH)、Cm=7.8352(fF)でした。
この水晶発振子は、周波数：foのバラツキはまずまず少ないものの、損失抵抗：Rmのバラツキが大きいです。 それに伴い、無負荷Q：Quの値も大きくバラついています。 σが186000もあるのは発振用としても支障がありそうです。実際に、次項のように発振周波数法では発振できないものがありました。 非常に良い水晶も混じっているので、フィルタで使用するにはピックアップすべきです。玉石混淆と言った水晶発振子でした。
上記と同じ水晶発振子を、発振周波数変化法で測定してみました。 直列容量C1は再測定しても同じであったため、25.75pFで計算しています。
実測から計算された平均値は：Lm=40.299(mH)、Cm=7.767(fF)でした。
同様にVNAによる測定結果を基準とすれば、発振周波数変化法によって求めた、Lmは+0.88%、Cmは-0.87%の違いです。
上記と同じ9MHzの水晶発振子です。 購入したのも同じaitendoで、形状も同じHC-49/USです。 但し、購入時期が異なっており、数ヶ月間を置いています。 数ヶ月では在庫品が回転していない可能性もあるので、個体に刻印されていたロットを示すと思われる記号をしらべてみました。（左欄外に記載） 共通したロット番号もありましたが、異なるものも含まれたので先の20個とは混ぜずに測定してみました。 もちろん大きな差が見られなければフィルタに使う際には混合してしまうつもりです。
いずれも平均値ですが、Lm=40.477(mH)、Cm=7.735(fF)でした。
こちらのグループもRmに大きなバラツキがあり、従って無負荷Q：Quも大きくバラついています。 σでみても163000ですから、上記のグループと似たようなものと言えそうです。 直列共振周波数：foで比較しても平均値では僅か3Hzしか違わないので同じグループとして扱っても支障なさそうです。 いずれにしても、選別して使えば良いフィルタも可能でしょう。
同じように、発振周波数変化法で測定してみました。 既に２例を見ているので、同じような結果が得られると推測できますが結果はどうだったでしょうか？
いずれも平均値ですが、Lm=40.930(mH)、Cm=7.651(fF)でした。
同様にVNAによる測定結果を基準とすれば、発振周波数変化法によって求めた、Lmは+1.12%、Cmは-1.09%の違いです。 予想通り同じような結果になりました。
【測定法による水晶定数の違い】
以上、ネットワーク・アナライザを使って水晶定数を求める方法と、直列容量の有無による発振周波数変化から水晶定数を求める方法の比較を行なってみました。
ネットアナによる方法は、直列共振周波数：foにおいてLmとCmが打ち消し合って、Rmが求められることを原理とします。Rmの値と測定治具における共振特性からLmの値を求めて行く方法です。 一方、後者の直列に容量を付加する方法は、付加した容量による共振周波数の変化からCmの値を求める方法です。 このように測定原理は異なっています。
それぞれの方法で求めてみて、原理の異なる測定法から得られたLmとCmが2%以内の違いで求められることがわかりました。 このことから、簡略な方法でありながら周波数変化法で求めたLmやCmも十分信頼できる精度が得られていると推測できます。 標準偏差の比較でも大きな違いは見られませんでした。
ここには示しませんでしたが、３周波数法や、±45度法など他の方法と比較しても概ね1〜2%程度の違いしかありませんから、いずれの測定法でもまずまずの精度でLmやCmが求まることがわかりました。 これは得られた数値に基づくフィルタ特性のシミュレーションや、製作したフィルタそのものの実測特性からも得られた数値の正しさが実証できていると思います。 わずか2%程度の違いではフィルタ設計の結果に何ら差異は認められません。従って目的に対して十分な測定精度です。
もちろん、直列容量：C1の値を実測から精度良く求めるほか、個々の水晶発振子の並列容量：Chも実測で求めるなど相応の注意は必須です。 それでも自作好きのHAMならたいてい持っていそうな測定器・・・周波数カウンタとCメータだけでLmやCmが良い精度で求められることは嬉しい結果でしょう。
☆ ☆ ☆
上記の比較検討は既に紹介したARRLの出版物：「QRP POWER」（←参考リンク）に囲み記事があった「G3UURによる水晶定数の求め方」に基づいています。 十分良い精度でモーショナル・インダクタンス：Lm、及びモーショナル・キャパシタンス：Cmが求められることがわかりました。
しかし、残念ながら動的な損失抵抗；Rmを求めることが出来ませんでした。そのため、無負荷Q：Quの値も計算できません。Dishalに基づく簡易フィルタ設計ソフト（←参考リンク）を使う上ではRmの値は必要としませんが、RmやQuは水晶の良し悪しに関わるので気になる人も多いでしょう。 ちなみに、Rmがわかれば、無負荷QはQu=ωo*Lm/Rmで計算することが出来ます。（ωo=2*π*foなのは言うまでもないでしょう）
Rmが求められない不都合に対応する解決法を見掛けたので要約して説明しておきます。 これはG3UUR自身の記事であり、QRP-ARCI（QRP Amateur Radio Club International)の季刊誌、The QRP Quarterlyの2010年10月号に掲載されたものです。 なお、図の回路で発振とバッファ・アンプに使うトランジスタはオリジナルではBC108あるいはBC182となっています。いずれもfT=200MHzくらいの小信号用汎用品なので、2N3904や2SC1815のような代替品で大丈夫です。ダイオードD1とD2は筆者はOA47と言うMullard製のゲルダイを使っていますが、代替として1N60や1K60などのゲルマニウム点接触型を使えば良いでしょう。 またVR2は無くても良さそうです。コンデンサの単位；1nFと言うのは1000pF（=0.001μF)のことです。
以下、G3UURの発振回路でRmを求める手順を箇条書きに纏めてみました。 測定は1個の水晶発振子ではなく、複数個のグループについて行なうことを前提としています。
（１）準備：
検波ダイオードの先にあるMとGと言う端子間にデジタル・マルチ・メータ：DMMを接続して電圧が読めるようにしておく。また、O/P端子とGの間に周波数カウンタを接続する。
（２）foとVoscの測定：
水晶発振子を挿入する。スイッチS1とS2を閉じて発振周波数：foの測定を行なう。 そのときに、foと共にDMMに表示される電圧Vosc；（発振電圧の相対値）を記録しておく。Voscの測定で周波数カウンタ接続の影響が見られるなら一時的に接続を外すこと。
（３）f1の測定：
スイッチS1を開き、S2を閉じたままで発振周波数：f1を測定する。
測定したfo、f1からLmとCmを算出しておく。（これは、上で行なった方法と同じ）
（４）水晶ペアの作成：
測定した水晶発振子のグループから、DMMで読み取った発振電圧：Voscが近くて（5%以内）、なおかつ周波数；foがなるべく近い（100Hz以内）ものを2つ選ぶ。 もしもそのグループ内でDMMで読み取った電圧：Voscが大きくばらついているようなら、Vosc電圧が大きいもの2個のペアと、小さいもの2個のペアの2種類を作るのが良い。
（５）測定：
作ったをペアをハンダ付けして並列にしたものを発振回路に入れる。スイッチ1、2ともに閉じた状態でDMMの電圧；Voscを読み取る。
水晶が単独だった時よりもDMMの電圧；Voscは大きくなるでしょう。
（６）発振電圧の調整；
S2を開いて、VR1=100Ωを加減して水晶発振子が単独だった時の発振電圧：Voscと同じになるように調整する。 ペアにした2個で個々のVosc電圧が異なるなら平均値を用いる。
（７）Rxの測定：
水晶発振子を取り除いてから、TP1とTP2の間にDMMを抵抗計に切り替えて接続し、R1（100Ωの可変抵抗器）の抵抗値；Rxを読み取る。
その抵抗値：Rxの２倍がRmの値です。（ペアにした2個のRmの平均値）
発振電圧が大きいペアと、小さいペアの２種類について上記の測定を行なえば、そのロットのRmについて、大きなものと小さながわかることになります。他はその間にあるでしょう。 全体の平均値はその中間あたりでしょうか？ 誤差±10%くらいの測定精度があるそうですが、これは十分設計に役立つデータになります。
☆上記の方法以外にも、例えばARRL発行のハンドブック：2010年版 ARRL Handbook のCrystal Filter section （11.6）にも簡易ながらもう少し良い精度で求める方法が掲載されています。上記とはまた異なった方法で面白いです。お持ちなら参照を。 以上、【おまけ】の項は資料に基づいた解説です。理屈の上では旨く行きそうに思いますが、やってみたわけではありませんからあとは各自で実験して下さい。
☆ ☆ ☆
【エピローグ】
誰しも良い測定器や良い環境があればと望むものです。 もちろん、それが可能ならベストに違いありませんが、時として本末転倒になってしまうことがあります。 FBなメーカー製Rigが何台も買えるほど投資した挙げ句、出来上がったモノと言えばまったくの初心者レベルだった・・・では笑話しにしかならないでしょう。 ならばなるべく少ない出費で楽しむのが賢明と言うものです。それに何でも高級な方法が格段に優れるわけでもありません。（以上、自戒を込めて・笑）
しかし、簡単な方法には不安があるのも常です。何となく高級な道具を使った方が良さげに見えるものです。 だから誰かが比較して有効性の検証をしておけば簡単な方法も安心できるでしょう。これで簡易な方法も自信を持ってお奨めできると思います。de JA9TTT/1
（おわり）
追記：
比較用にデータ付きクリスタルを無償頒布する・・・と言う話しは一旦ペンディングにさせてもらいます。周波数変化法で良い精度の測定ができることがわかったので、比較用のクリスタルは必要ないでしょう。それに希望されるお方も少ないようです。(2015.09.28)
